완전 미분

- 이번에는 완전 미분에 대해 공부해보도록 하겠습니다.

- 위 완전미분을 이해하기위해 다음사이트를 참고하였습니다!

- 완전미분 관련 사이트

 

미분의 정의

미분법

미분은 결국 기울기를 구한다! 가 핵심으로 알고 있으시면 될거에요!

우선 미분을 정의 해야 완전 미분에 대해 이해하기 쉽습니다. 위 사이트의 글을 보며 처음에 이해가 안갔지만 아래 식을보고 이해하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 

$$ \Delta x = x_2 - x_1 $$

위 정의는 차분에 대해 정의 한것이다. 임의의 $x_2$와 $x_1$의 차이를 차분이라 정의하고 이에 대해 $y$ 에 관해 써주어 나누어 주면 우리가 아는 기울기가 되는것이다. 그럼 결국 차분에 대해 y/x를 해주면 미분값이라는 거죠. 다음의 식을 보게되면 미분에 대한 차분을 아래와 같이 정의 한다는것입니다.

$$ \lim_{x_1\rightarrow x_2} \Delta x_1 = dx $$

위 식을 이용하여 우리는 아래와 같은 식으로 미분을 정의합니다!

이렇게 되면 미분에 대해 간단하게 정리한것같습니다.

완전 미분 이해

우선 완전 미분에 대해 이해를 하기위해 기하학적 의미를 파악해야합니다.

그림 1 완전 미분의 기하학적 의미

그림1은 완전 미분의 기하학적 의미인데 하나하나 이야기 해볼려고합니다. 우선 완전 미분의 개념에 대해 설명하겠습니다. 임의의 함수 $f$의 미분소(differential) $df$가 존재할 때를 완전 미분이라고 하고 역은 불완전 미분이라고 합니다. 

여기서 독립변수가 하나만 쓰인 경우 $df = A(x) dx$ 라 할때, $A(x) = df/dx$ 를 만족하기에 일변수 함수의 모든 미분은 필연적으로 완전 미분임을 알 수 있습니다. 하지만 독립 변수가 2개인 경우를 저희는 고려해야합니다. $df$를 구하기위해 아래 식을 보며 이야기 하겠습니다.

식(2)

위 식(2)를 위에 그림 1 에 대입하면 완벽하게 똑같다는것을 알 수 있습니다. 아마 여기서 첫줄 자체는 이해가 될텐데 두번째줄을 왜 저렇게 분석하는지 알지 못할것입니다. 이는 $f(x+\Delta x,y)$를 더해주고 빼주면 원본 식과 같게 때문에 더해주고 빼준과정입니다! 그렇게 해서 맨아래 식(2)처럼 결과를 끄집어 낼 수 있다는거죠.

위 그림 처럼 표현이 가능하고 아래 조건에 대해 $A(x,y) B(x,y)$ 는 만족해야합니다.

이를 만족해야 결국 완전 미분 조건을 만족하므로 완전 미분이 가능하다는것입니다! 이 과정이 불가능하면 미분이 불가능 하다는거죠! 아래 예시를 보면 더 이해하기 쉽습니다.

예시

결과적으로 완전미분에 대해 조건을 얘기해보도록 하겠습니다.

완전 미분 조건

함수 $A(x,y)$와 $B(x,y)$가 완전 미분을 만족할 조건은 다음과 같습니다.

결과적으로 이런식으로 완전미분에 대해 이해 할 수있습니다!