선적분

- 이번에는 선적분에 대해 알아보겠습니다.

- 선적분을 알기위해선 이전 블로그 글인 벡터장에 대해 공부하고 오시는 걸 추천합니다!

- 벡터장 관련링크

선적분의 정의

선적분의 정의는 물리학에서 생각하는 일,힘,이동거리 라고 생각하시면 됩니다! 여기서 중요한 공식으로는 다음과 같습니다.

 

$$ W = F*D $$ 

힘과 이동거리의 내적을 이용하여 일을 구할 수 있는데 여기서 중요한 사실은 $F(x,y)$ 는 힘을 뜻하는 벡터장이고 $D$는 이동거리중 작은 미소단위의 값들을 쭉 내적하는 과정을 통해 일을 구하는것입니다. 이말에 대해 아직 이해가 안가실 수 있으니 아래 예시를 보면서 설명하도록 하겠습니다.

그림 1

그림 1은 $\vec{F_1}$ 과 $\Delta \vec{s_2}$ 간의 내적을 이어나가 n개 만큼 내적하여 모두 더하게 되면 선적분을 수행한것입니다! 위 식에 대해 이해가 끝났으면 아래 제대로된 수식을 보며 이해 해보도록 하겠습니다.

$$ \sum_{k=1}^{n}\vec{F_k}*\Delta \vec{s_k}$$

이라는 식으로 표현이 됩니다. 위식중 만약에 저희가 n 을 무한대로 하거나 이동거리의 미소단위인 $\vec{s_k}$를 0에 가깝게 한다면 어떻게 될까요? 정답은 적분으로 표현이 가능하다는것입니다! 그렇게 되면 결국 최종적으로 아래와 같은 수식으로 표현 할 수 있죠.

$$ \int_c \vec{F} \cdot \vec{dr} = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\vec{F_k}*\Delta \vec{s_k}$$

예시문제 풀이

문제 1번

위 문제를 풀기 위해 저희가 정의한 선적분에 개념을 사용하여 해결 할 수 있습니다. 아래는 저의 풀이입니다.

$\vec{dr}$을 $dx, dy, dz$로 분해하여 할 수 있습니다. 왜냐하면 dr 벡터는 3차원의 단위로 쪼개서 생각할 수 있기 때문이죠.